Movimiento Armónico Simple

El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y también muchos han sido producidos por el hombre.

Definición

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

x = A sen (wt + j)

donde

• A  es la amplitud.
• w   la frecuencia angular o pulsación.
• w t + j   la fase.
• j  o j_o la fase inicial.

Características de un M.A.S. son:

• Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre +A y -A.

• La función seno es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo T tal que w(t+T)+j=wt+j+2p .

T = 2p/w

Cinemática de un M.A.S.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación

x = A sen (w t + j)

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

v = A w cos (w t + j)

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

a = - A w² sen (w t + j ) = - w²x

Condiciones iniciales
Conociendo la pulsación w, la posición inicial x₀ y la velocidad inicial v₀ (en el instante t=0).
x₀=A·senj
v₀=Aw·cosj
se puede determinar la amplitud A y la fase inicial φ

Dinámica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

F = m a = - m w² x

En la ecuación anterior vemos que la fuerza que origina un movimiento armónico simple es una fuerza del tipo:

F = -K x       

es decir una fuerza como la que hace un muelle, directamente proporcional a la elongación pero de signo contrario. K es la constante recuperadora o constante de elasticidad y se puede observar, en las dos ecuaciones anteriores, que está relacionada con la pulsación:

K = m w²

Teniendo en cuenta que  w = 2p / T  podemos deducir el periodo del movimiento armónico simple:

Como se origina un m.a.s.

Siempre que sobre una partícula, desplazada una longitud  x de su posición de equilibrio, actúe una fuerza que es proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a éste, tal como se muestra en el ejemplo de la figura

Energía de un M.A.S.

En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa.
En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en el punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la energía correspondiente a la partícula que realiza el m.a.s. es la suma de su energía potencial más su energía cinética.

Toda partícula sometida a un movimiento armónico simple posee una energía mecánica que podemos descomponer en: Energía Cinética (debida a que la partícula está en movimiento) y Energía Potencial (debida a que el movimiento armónico es producido por una fuerza conservativa).

Si tenemos en cuenta el valor de la energía cinética 

Ec = 1/2 m v² 

y el valor de la velocidad del m.a.s. 

v = dx / dt  = A w cos (w t + j_o)

sustituyendo obtenemos

Ec  = 1/2 m v²    =   1/2 m A² w²cos² (w t + j_o)

Ec  = 1/2 k A² cos ²(w t + j_o)

a partir de la ecuación fundamental de la trigonometría:

sen² + cos² = 1

Ec  = 1/2 k A² [ 1 - sen ²(w t + j_o)]

Ec  = 1/2 k[ A² - A²sen ²(w t + j_o)]

de donde la energía cinética de una partícula sometida a un m.a.s. queda

Ec  = 1/2 k [ A² - x²]

Observamos que tiene un valor periódico, obteniéndose su valor máximo cuando la partícula se encuentra en la posición de equilibrio, y obteniéndose su valor mínimo en el extremo de la trayectoria.

La energía potencial en una posición y vendrá dada por el trabajo necesario para llevar la partícula desde la posición de equilibrio hasta el punto de elongación y.

Por ello el valor de la energía potencial  en una posición x vendrá dado por la expresión

Ep = 1/2 k x²

Teniendo en cuenta que la energía mecánica es la suma de la energía potencial  más la energía cinética, nos encontramos que la energía mecánica de una partícula que describe un m.a.s. será:

E_total = 1/2 K x² +  1/2 K (A²-x²) = 1/2 KA²

E = 1/2 k A²

En el m.a.s. la energía mecánica permanece constante si no hay rozamiento, por ello su amplitud permanece también constante.

Descripción del  M.A.S. relacionándolo con un movimiento circular uniforme.

En este apartado, vamos a interpretar geométricamente el Movimiento Armónico Simple (M. A. S.), relacionándolo con el movimiento circular uniforme.

En la figura, se observa la interpretación de un M.A.S. como proyección sobre el eje X, del extremo de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud A, que gira con velocidad angular wigual a la frecuencia angular del M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj. Dicha proyección vale

El ángulo w t + j que forma el vector rotatorio con el eje de las X se denomina fase del movimiento. El ánguloj que forma en el instante t=0, se denomina fase inicial.